Pendahuluan

Matematika sering terasa seperti kumpulan rumus. Namun, jika diperhatikan lebih dalam, banyak rumus sebenarnya sedang melakukan hal yang sama: menjelaskan bagaimana satu besaran bergantung pada besaran lain. Ketika jarak tempuh bergantung pada waktu, biaya bergantung pada jumlah barang, luas persegi bergantung pada panjang sisi, atau suhu bergantung pada waktu pengamatan, kita sedang berbicara tentang gagasan yang sama: fungsi.

Dalam buku ini, fungsi akan dipelajari sebagai bahasa utama untuk menyatakan hubungan. Bahasa ini dipakai di matematika, fisika, biologi, ekonomi, teknologi, dan banyak bidang lain. Di sekolah, fungsi juga menjadi jembatan antara aritmetika, aljabar, geometri koordinat, trigonometri, dan pemodelan. Karena itu, banyak kurikulum dan standar pembelajaran matematika menempatkan fungsi dan representasi—seperti tabel, persamaan, dan grafik—sebagai bagian penting dari pembelajaran matematika tingkat menengah (NCTM, 2000; NGA Center & CCSSO, 2010).

Bayangkan sebuah ojek daring memasang tarif dasar Rp8.000, lalu menambah Rp2.500 untuk setiap kilometer. Jika jarak perjalanan adalah 4 km, biaya perjalanannya

\[ 8000 + 2500(4) = 18000. \]

Jika jaraknya 7 km, biayanya

\[ 8000 + 2500(7) = 25500. \]

Di sini ada hubungan antara jarak dan biaya. Jarak dapat kita pilih atau ketahui lebih dahulu. Biaya kemudian ditentukan oleh jarak itu. Dalam bahasa fungsi, jarak berperan sebagai input, sedangkan biaya berperan sebagai output.

Secara sederhana, input adalah nilai yang dimasukkan ke dalam suatu aturan, sedangkan output adalah nilai yang dihasilkan oleh aturan tersebut. Jika aturan tarif tadi kita tulis sebagai

\[ B(x) = 8000 + 2500x, \]

maka \(x\) menyatakan jarak dalam kilometer, dan \(B(x)\) menyatakan biaya perjalanan dalam rupiah. Notasi \(B(x)\) dibaca “B dari x” atau “nilai fungsi B pada x”. Artinya, jika kita memasukkan nilai \(x\), fungsi \(B\) menghasilkan suatu nilai biaya.

Misalnya:

\[ B(4) = 8000 + 2500(4) = 18000. \]

Jadi, ketika input-nya 4, output-nya 18000.

Gagasan kecil ini akan berkembang menjadi alat yang sangat kuat. Dengan fungsi, kita dapat bertanya:

• berapa nilai output jika input diketahui?
• input apa saja yang masuk akal?
• apakah grafiknya naik atau turun?
• apakah hubungan itu linear, kuadrat, eksponensial, periodik, atau bentuk lain?
• bagaimana grafik berubah jika digeser, diperbesar, diperkecil, atau dicerminkan?
• apakah prosesnya dapat dibalik?

Pertanyaan-pertanyaan inilah yang akan menjadi jalur belajar buku ini.

Dari hubungan sehari-hari menuju fungsi

Sebelum sampai pada definisi formal, kita mulai dari ide paling dasar: hubungan antarbesaran.

Sebuah besaran adalah sesuatu yang dapat dinyatakan dengan nilai. Dalam matematika sekolah, nilai ini biasanya berupa bilangan. Contohnya panjang, waktu, suhu, harga, luas, volume, jumlah penduduk, kecepatan, dan banyaknya barang.

Beberapa besaran dapat berubah. Besaran seperti ini disebut variabel. Kata “variabel” berarti sesuatu yang nilainya dapat bervariasi. Dalam contoh tarif ojek tadi, jarak perjalanan dapat berubah: 1 km, 2 km, 3,5 km, 10 km, dan seterusnya. Maka jarak adalah variabel. Biaya juga berubah mengikuti jarak, sehingga biaya juga merupakan variabel.

Namun, perannya berbeda. Jarak adalah variabel yang kita masukkan terlebih dahulu. Biaya adalah variabel yang nilainya bergantung pada jarak. Karena itu, jarak disebut variabel bebas, sedangkan biaya disebut variabel terikat.

Perhatikan contoh lain.

Jika sisi sebuah persegi adalah \(s\), maka luasnya adalah

\[ L(s) = s^2. \]

Jika \(s = 5\), maka

\[ L(5) = 5^2 = 25. \]

Di sini, panjang sisi \(s\) adalah input atau variabel bebas. Luas \(L(s)\) adalah output atau variabel terikat. Luas tidak dipilih secara bebas setelah sisi ditentukan; luas mengikuti aturan \(s^2\).

Inilah salah satu ciri penting fungsi: untuk setiap input yang diperbolehkan, fungsi memberikan tepat satu output. Jika panjang sisi persegi adalah 5 cm, luasnya pasti 25 cm². Tidak mungkin pada saat yang sama luasnya 25 cm² dan 30 cm² untuk persegi yang sama.

Dalam bab-bab berikutnya, gagasan “tepat satu output” akan dibuat lebih formal melalui relasi, pasangan berurutan, diagram pemetaan, tabel, dan grafik. Untuk sekarang, cukup pegang ide utamanya: fungsi adalah cara tertib untuk menghubungkan input dengan output.

Tiga cara melihat fungsi

Satu fungsi dapat dilihat melalui beberapa bentuk. Tiga bentuk yang paling sering digunakan dalam buku ini adalah tabel, persamaan, dan grafik. Dalam pembelajaran matematika, kemampuan berpindah dari satu representasi ke representasi lain sangat penting karena setiap bentuk memperlihatkan sisi yang berbeda dari suatu hubungan (NCTM, 2000).

Misalnya fungsi biaya perjalanan tadi:

\[ B(x) = 8000 + 2500x. \]

Kita dapat menuliskannya dalam tabel.

Tabel membantu kita melihat beberapa pasangan input-output secara langsung. Dari tabel, kita dapat melihat bahwa setiap jarak bertambah 1 km, biaya bertambah Rp2.500.

Fungsi yang sama juga dapat ditulis sebagai persamaan:

\[ B(x) = 8000 + 2500x. \]

Persamaan membantu kita menghitung nilai output untuk banyak input, termasuk input yang tidak ada di tabel. Misalnya untuk \(x = 12\),

\[ B(12) = 8000 + 2500(12) = 38000. \]

Fungsi yang sama juga dapat digambarkan sebagai grafik pada bidang koordinat. Setiap pasangan \((x, B(x))\) menjadi titik. Misalnya \((0, 8000)\), \((1, 10500)\), dan \((4, 18000)\). Karena hubungan ini linear, titik-titiknya terletak pada satu garis lurus.

Ketiga bentuk ini tidak saling menggantikan sepenuhnya. Tabel membuat beberapa data mudah dibaca. Persamaan membuat perhitungan menjadi efisien. Grafik membuat pola naik, turun, potongan sumbu, dan bentuk umum hubungan lebih mudah dilihat. Salah satu tujuan utama buku ini adalah membuat Anda nyaman menggunakan ketiganya.

Mengapa domain penting?

Ketika belajar fungsi, kita tidak hanya bertanya “rumusnya apa?” Kita juga harus bertanya: input apa saja yang boleh digunakan?

Kumpulan semua input yang diperbolehkan disebut domain. Domain penting karena tidak semua nilai selalu masuk akal atau diperbolehkan.

Misalnya, untuk fungsi luas persegi

\[ L(s) = s^2, \]

secara aljabar kita bisa menghitung \(L(-3) = 9\). Tetapi jika \(s\) menyatakan panjang sisi persegi dalam konteks geometri nyata, maka \(s = -3\) cm tidak masuk akal sebagai panjang sisi. Jadi, dalam konteks luas persegi, domain yang masuk akal adalah

\[ s \geq 0. \]

Contoh lain:

\[ f(x) = \frac{1}{x-2}. \]

Untuk fungsi ini, \(x = 2\) tidak boleh digunakan karena menyebabkan penyebut menjadi nol:

\[ f(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0}. \]

Pembagian dengan nol tidak terdefinisi dalam aritmetika biasa. Maka \(2\) tidak termasuk domain fungsi tersebut.

Ada juga fungsi seperti

\[ g(x) = \sqrt{x}. \]

Dalam bilangan real, \(\sqrt{x}\) terdefinisi jika \(x \geq 0\). Maka domain real untuk \(g(x)=\sqrt{x}\) adalah \(x \geq 0\).

Dari contoh-contoh ini, kita melihat bahwa domain dapat dibatasi oleh konteks, oleh bentuk rumus, atau oleh keduanya. Bab khusus tentang domain, kodomain, dan daerah hasil akan membahas hal ini dengan lebih cermat.

Grafik bukan sekadar gambar

Banyak siswa melihat grafik sebagai gambar yang harus ditiru. Dalam buku ini, grafik akan diperlakukan sebagai cara membaca hubungan.

Pada bidang koordinat, titik \((x,y)\) menyatakan bahwa nilai horizontalnya adalah \(x\) dan nilai vertikalnya adalah \(y\). Jika grafik menyatakan fungsi \(y=f(x)\), maka setiap titik pada grafik memiliki bentuk

\[ (x, f(x)). \]

Artinya, koordinat vertikal titik itu adalah output fungsi untuk input \(x\).

Misalnya, jika suatu grafik jarak terhadap waktu melalui titik \((3, 12)\), dan sumbu horizontal menyatakan waktu dalam jam sedangkan sumbu vertikal menyatakan jarak dalam kilometer, maka titik itu berarti:

setelah 3 jam, jaraknya 12 kilometer.

Makna titik bergantung pada konteks dan satuan. Titik \((3,12)\) pada grafik biaya bisa berarti 3 barang berharga Rp12.000. Pada grafik suhu bisa berarti pukul 3 suhu 12°C. Karena itu, membaca grafik harus selalu disertai pertanyaan: sumbu horizontal menyatakan apa? sumbu vertikal menyatakan apa? satuannya apa?

Grafik juga membantu kita melihat perubahan. Jika grafik naik dari kiri ke kanan, output bertambah ketika input bertambah. Jika grafik turun dari kiri ke kanan, output berkurang ketika input bertambah. Jika grafik mencapai titik tertinggi atau terendah, kita dapat menafsirkan maksimum atau minimum dalam konteks masalah.

Kemampuan membaca grafik seperti ini penting dalam matematika dan sains karena grafik sering dipakai untuk menyajikan data, pola, dan model. Standar pembelajaran matematika modern juga menekankan pentingnya representasi visual untuk memahami dan mengomunikasikan gagasan matematika (NCTM, 2000; NGA Center & CCSSO, 2010).

Fungsi sebagai alat pemodelan

Dalam kehidupan nyata, kita sering tidak hanya menghitung, tetapi juga membuat model. Model adalah penyederhanaan yang digunakan untuk memahami atau memperkirakan suatu keadaan. Dalam matematika, model sering berupa fungsi.

Misalnya, jika uang tabungan awal Rp100.000 dan setiap minggu bertambah Rp20.000, jumlah tabungan setelah \(t\) minggu dapat dimodelkan dengan

\[ S(t) = 100000 + 20000t. \]

Ini model linear karena perubahan tabungan setiap minggu tetap sama, yaitu Rp20.000.

Jika suatu bakteri berlipat dua setiap jam, jumlah bakteri mungkin dimodelkan secara sederhana dengan

\[ N(t) = N_0 \cdot 2^t, \]

dengan \(N_0\) sebagai jumlah awal dan \(t\) sebagai waktu dalam jam. Ini model eksponensial karena perubahan terjadi dengan faktor pengali tetap, bukan penambahan tetap.

Jika tinggi suatu titik pada roda berputar berubah naik-turun secara berulang, fungsi trigonometri seperti sinus atau kosinus dapat digunakan sebagai model periodik. Model periodik adalah model yang pola nilainya berulang setelah selang tertentu.

Namun, model bukan kenyataan secara sempurna. Model adalah alat. Model tarif ojek mungkin mengabaikan biaya tambahan, diskon, atau kemacetan. Model pertumbuhan bakteri mungkin hanya cocok selama makanan dan ruang masih cukup. Karena itu, belajar fungsi juga berarti belajar bertanya: model ini cocok untuk situasi apa? Kapan model ini mulai tidak tepat?

Buku ini tidak akan membuat fungsi terasa seperti rumus yang jatuh dari langit. Setiap jenis fungsi akan dihubungkan dengan pola, grafik, dan contoh pemakaian yang masuk akal.

Arah perjalanan buku ini

Buku ini disusun bertahap. Pada awalnya, kita akan membangun pengertian fungsi dari relasi, pemetaan, pasangan berurutan, tabel, persamaan, dan grafik. Setelah itu, kita akan mempelajari notasi fungsi dan cara menghitung nilai fungsi.

Kemudian kita akan masuk ke domain, kodomain, dan daerah hasil. Tiga istilah ini sering terdengar mirip, tetapi memiliki makna berbeda. Memahaminya akan membantu Anda menghindari banyak kesalahan, terutama saat berhadapan dengan akar, pecahan aljabar, fungsi invers, dan grafik.

Setelah fondasi terbentuk, kita akan mempelajari beberapa keluarga fungsi penting:

• fungsi linear,
• fungsi kuadrat,
• fungsi pangkat,
• fungsi akar,
• fungsi nilai mutlak,
• fungsi rasional,
• fungsi eksponensial,
• fungsi logaritma,
• fungsi trigonometri.

Kata “keluarga fungsi” berarti kumpulan fungsi yang memiliki bentuk atau sifat yang mirip. Misalnya, semua fungsi berbentuk

\[ f(x)=mx+b \]

termasuk keluarga fungsi linear. Grafiknya berupa garis lurus. Sementara itu, fungsi berbentuk

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

dengan \(a \neq 0\) termasuk keluarga fungsi kuadrat. Grafiknya berupa parabola.

Setelah mengenal berbagai jenis fungsi, kita akan belajar melakukan operasi pada fungsi, menyusun komposisi fungsi, dan mencari fungsi invers. Komposisi fungsi muncul ketika satu proses dilanjutkan oleh proses lain. Misalnya, suhu Celsius diubah ke Fahrenheit, lalu hasilnya dipakai dalam perhitungan biaya energi. Fungsi invers muncul ketika kita ingin membalik proses, misalnya dari biaya kembali memperkirakan jumlah barang, atau dari output mencari input asalnya.

Bagian akhir buku membahas transformasi grafik: translasi, penskalaan, dan pencerminan. Transformasi ini membantu kita menggambar dan memahami grafik baru dari grafik dasar. Misalnya, dari grafik \(y=x^2\), kita dapat memahami grafik

\[ y=(x-3)^2+2 \]

sebagai parabola yang bergeser 3 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

Pada akhirnya, tujuan buku ini bukan sekadar membuat Anda bisa menjawab soal. Tujuan yang lebih penting adalah membuat Anda mampu melihat fungsi sebagai bahasa. Dengan bahasa itu, Anda dapat membaca tabel, memahami persamaan, menafsirkan grafik, membangun model sederhana, dan memeriksa apakah jawaban Anda masuk akal.

Cara berpikir yang akan dilatih

Sepanjang buku ini, ada beberapa kebiasaan berpikir yang terus dilatih.

Pertama, selalu tanyakan apa input dan output-nya. Sebelum memakai rumus, pahami dahulu apa yang dimasukkan dan apa yang dihasilkan.

Kedua, selalu perhatikan domain. Jangan hanya menghitung. Periksa apakah input yang digunakan diperbolehkan oleh rumus dan masuk akal dalam konteks.

Ketiga, hubungkan tabel, persamaan, dan grafik. Jika hanya melihat rumus, coba bayangkan grafiknya. Jika melihat grafik, coba baca titik-titik pentingnya. Jika melihat tabel, coba cari pola perubahannya.

Keempat, tafsirkan jawaban. Jika hasil perhitungan biaya adalah negatif, mungkin ada kesalahan atau domain konteksnya tidak diperhatikan. Jika model populasi menghasilkan pecahan orang, mungkin hasil itu perlu ditafsirkan sebagai pendekatan, bukan jumlah orang sebenarnya.

Kelima, jangan takut kembali ke definisi. Dalam matematika, definisi adalah pegangan utama. Jika suatu soal terasa membingungkan, sering kali jalan keluarnya adalah bertanya: menurut definisinya, apa yang harus dipenuhi?

Dengan sikap seperti itu, fungsi dan grafik tidak lagi menjadi kumpulan simbol yang terpisah. Keduanya menjadi cara berpikir yang teratur: dari situasi, menuju hubungan; dari hubungan, menuju representasi; dari representasi, menuju pemahaman.

References

National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics.

National Governors Association Center for Best Practices & Council of Chief State School Officers. (2010). Common Core State Standards for Mathematics. National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. https://www.corestandards.org/Math/