Pendahuluan

Pembelajaran mesin sering diperkenalkan melalui perangkat lunak: kita memanggil fungsi fit, memilih model, menjalankan pelatihan, lalu membaca akurasi. Cara itu berguna, tetapi mudah membuat kita lupa bahwa setiap langkah di baliknya adalah keputusan matematis. Data harus diubah menjadi bilangan. Model harus dinyatakan sebagai fungsi. Kesalahan prediksi harus diukur. Parameter harus dicari. Ketidakpastian harus dimodelkan. Hasil akhirnya harus dievaluasi dengan hati-hati.

Buku ini ditulis untuk membantu Anda melihat struktur tersebut secara jelas. Tujuannya bukan menjadikan matematika sebagai hambatan sebelum memakai pembelajaran mesin, melainkan sebagai bahasa yang membuat pembelajaran mesin dapat dipahami, diperiksa, dan digunakan secara bertanggung jawab.

Pembelajaran mesin, dalam pengertian klasik, mempelajari bagaimana suatu program dapat meningkatkan kinerjanya pada suatu tugas melalui pengalaman atau data; rumusan terkenal dari Tom Mitchell menyatakan bahwa sebuah program belajar dari pengalaman \(E\) terhadap kelas tugas \(T\) dan ukuran kinerja \(P\) jika kinerjanya pada tugas \(T\), sebagaimana diukur oleh \(P\), meningkat dengan pengalaman \(E\) (Mitchell, 1997). Rumusan ini sederhana, tetapi sangat kuat. Ia memaksa kita bertanya:

• Apa tugas yang ingin diselesaikan?
• Apa bentuk pengalaman atau datanya?
• Bagaimana kinerja diukur?
• Bagaimana model berubah setelah melihat data?

Pertanyaan-pertanyaan inilah yang akan kita jawab secara matematis sepanjang buku ini.

Bayangkan kita ingin membuat model untuk memperkirakan harga rumah. Setiap rumah memiliki beberapa informasi: luas bangunan, jumlah kamar, jarak ke pusat kota, umur bangunan, dan mungkin lokasi. Informasi-informasi ini disebut fitur, yaitu sifat terukur atau terkodekan dari suatu objek yang digunakan sebagai masukan model. Harga rumah yang ingin diprediksi disebut target atau label, bergantung pada konteks. Jika targetnya berupa bilangan kontinu seperti harga, masalahnya disebut regresi. Jika targetnya berupa kategori, misalnya “spam” atau “bukan spam”, “sakit” atau “sehat”, masalahnya disebut klasifikasi.

Agar komputer dapat memproses data tersebut, setiap rumah biasanya direpresentasikan sebagai vektor, yaitu daftar bilangan yang memiliki urutan. Misalnya satu rumah dapat ditulis sebagai

\[ x = \begin{bmatrix} 120 \\ 3 \\ 8 \\ 15 \end{bmatrix}, \]

dengan makna: luas 120 meter persegi, 3 kamar, jarak 8 kilometer dari pusat kota, dan umur bangunan 15 tahun. Vektor ini bukan sekadar format penyimpanan. Ia adalah titik dalam ruang fitur, yaitu ruang matematis tempat setiap dimensi mewakili satu fitur. Begitu data menjadi vektor, kita dapat berbicara tentang jarak antar-data, arah perubahan, kombinasi fitur, proyeksi, dan pemisahan kelas. Inilah alasan aljabar linear menjadi bahasa dasar pembelajaran mesin; banyak model modern dapat dipahami sebagai operasi terhadap vektor dan matriks, sebagaimana dibahas luas dalam teks aljabar linear dan pembelajaran mesin (Strang, 2016; Bishop, 2006).

Namun representasi saja belum cukup. Kita juga memerlukan model. Dalam buku ini, model dapat dipahami sebagai fungsi matematis yang menerima masukan dan menghasilkan keluaran. Untuk regresi harga rumah, model sederhana dapat berbentuk

\[ \hat{y} = w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3 + w_4 x_4 + b. \]

Di sini \(x_1, x_2, x_3, x_4\) adalah fitur, \(\hat{y}\) adalah prediksi harga, \(w_1, w_2, w_3, w_4\) adalah parameter bobot, dan \(b\) adalah bias atau intersep. Parameter adalah bilangan yang dipelajari dari data. Jika \(w_1\) besar dan positif, model menganggap luas bangunan memiliki hubungan positif yang kuat dengan harga. Jika \(w_3\) negatif, model menganggap rumah yang lebih jauh dari pusat kota cenderung memiliki harga lebih rendah, setidaknya menurut pola dalam data latih.

Pertanyaan berikutnya adalah: bagaimana model tahu parameter mana yang baik?

Untuk itu kita memerlukan fungsi rugi. Fungsi rugi adalah fungsi yang mengukur seberapa buruk prediksi model dibandingkan dengan jawaban yang tersedia dalam data. Jika harga sebenarnya adalah \(y\) dan prediksi model adalah \(\hat{y}\), salah satu ukuran kesalahan yang umum adalah kuadrat selisih:

\[ (\hat{y} - y)^2. \]

Jika prediksi tepat, rugi bernilai nol. Jika prediksi meleset jauh, rugi menjadi besar. Dalam regresi linear, jumlah kuadrat kesalahan seperti ini membawa kita pada metode kuadrat terkecil, yang memiliki interpretasi geometris sebagai proyeksi dan interpretasi probabilistik jika derau diasumsikan Gaussian (Bishop, 2006; Hastie, Tibshirani, dan Friedman, 2009).

Sesudah fungsi rugi ditentukan, pelatihan model menjadi masalah optimisasi. Optimisasi adalah proses mencari nilai terbaik dari suatu fungsi, biasanya nilai minimum untuk fungsi rugi. Secara informal, kita ingin menemukan parameter \(w\) dan \(b\) yang membuat kesalahan prediksi sekecil mungkin pada data latih.

Di sinilah kalkulus masuk. Turunan memberi tahu bagaimana suatu fungsi berubah ketika masukannya sedikit diubah. Jika fungsi rugi berubah banyak ketika suatu parameter digeser sedikit, parameter itu memiliki pengaruh besar terhadap rugi. Dalam banyak model, kita menggunakan gradien, yaitu vektor turunan parsial yang menunjukkan arah kenaikan tercepat fungsi. Untuk meminimalkan fungsi rugi, algoritma seperti gradient descent bergerak berlawanan arah gradien. Ide ini merupakan salah satu dasar optimisasi numerik dalam pembelajaran mesin dan berhubungan erat dengan teori optimisasi konveks maupun nonkonveks (Boyd dan Vandenberghe, 2004; Goodfellow, Bengio, dan Courville, 2016).

Contohnya, anggap hanya ada satu parameter \(w\), dan fungsi rugi berbentuk

\[ L(w) = (2w - 10)^2. \]

Jika \(w = 0\), maka \(L(0) = 100\). Nilai minimum terjadi saat \(2w - 10 = 0\), yaitu \(w = 5\). Tetapi dalam masalah nyata, kita jarang dapat melihat jawabannya sejelas ini. Gradient descent mencoba memperbaiki \(w\) sedikit demi sedikit. Jika turunan menunjukkan bahwa menaikkan \(w\) akan menurunkan rugi, maka \(w\) dinaikkan. Jika turunan menunjukkan sebaliknya, \(w\) diturunkan. Pada model besar, prinsipnya tetap sama, hanya ruang parameternya dapat memiliki ribuan, jutaan, atau bahkan miliaran dimensi.

Matematika pembelajaran mesin tidak berhenti pada aljabar linear dan kalkulus. Data nyata hampir selalu mengandung ketidakpastian. Dua pasien dengan gejala mirip dapat memiliki diagnosis berbeda. Dua pelanggan dengan riwayat belanja mirip dapat mengambil keputusan berbeda. Dua foto kucing dapat tampak sangat berbeda karena pencahayaan, sudut kamera, dan latar belakang. Karena itu, pembelajaran mesin membutuhkan probabilitas.

Probabilitas adalah bahasa matematis untuk menyatakan ketidakpastian. Jika sebuah model klasifikasi menghasilkan nilai 0,8 untuk kelas “spam”, angka itu biasanya tidak boleh dibaca sebagai kepastian mutlak. Lebih tepat, angka itu dapat ditafsirkan sebagai derajat keyakinan model, jika model memang dirancang dan dikalibrasi untuk menghasilkan probabilitas. Dalam pendekatan probabilistik, kita memodelkan data, label, dan derau sebagai peubah acak serta mempelajari distribusi yang menjelaskan kemungkinan nilai-nilainya (Bishop, 2006; Murphy, 2022).

Misalnya, dalam klasifikasi email, kita ingin menghitung

\[ P(\text{spam} \mid \text{kata-kata dalam email}). \]

Notasi ini dibaca: probabilitas email adalah spam jika kita sudah mengetahui kata-kata yang muncul di dalamnya. Simbol “\(\mid\)” berarti “dengan syarat” atau “diketahui bahwa”. Konsep ini disebut probabilitas bersyarat. Aturan Bayes kemudian memberi cara menghubungkan probabilitas posterior, likelihood, dan prior. Ide ini menjadi dasar model seperti naive Bayes dan juga menjadi salah satu jembatan utama antara statistika dan pembelajaran mesin (Murphy, 2022).

Selain probabilitas, kita memerlukan statistika. Jika probabilitas sering bertanya, “Jika model dunia diketahui, seperti apa data yang mungkin muncul?”, maka statistika sering bertanya sebaliknya: “Jika data yang muncul terbatas seperti ini, model dunia apa yang masuk akal?” Pembelajaran mesin praktis hampir selalu bekerja dengan sampel terbatas. Kita tidak memiliki semua rumah di dunia, semua pasien, semua transaksi, atau semua gambar yang mungkin. Kita hanya memiliki sebagian data. Dari sebagian data itu, kita mencoba membuat model yang bekerja baik pada data baru.

Di sinilah muncul konsep generalisasi. Generalisasi adalah kemampuan model bekerja baik pada data yang belum pernah dilihat saat pelatihan. Model yang hanya menghafal data latih mungkin memiliki kesalahan sangat kecil pada data latih, tetapi buruk pada data baru. Keadaan ini disebut overfitting, yaitu ketika model terlalu menyesuaikan diri pada detail khusus atau derau dalam data latih. Sebaliknya, underfitting terjadi ketika model terlalu sederhana sehingga gagal menangkap pola penting. Hubungan antara kompleksitas model, data, dan kinerja prediktif merupakan tema utama dalam pembelajaran statistis modern (Hastie, Tibshirani, dan Friedman, 2009).

Contoh sederhana dapat membantu. Misalkan kita memiliki lima titik data yang kira-kira mengikuti garis lurus, tetapi setiap titik sedikit terganggu derau. Jika kita memakai garis lurus, model mungkin tidak melewati semua titik, tetapi menangkap pola umum. Jika kita memakai polinom derajat empat, model dapat melewati semua titik tepat, tetapi berkelok-kelok secara tidak wajar. Pada titik baru di luar data latih, polinom itu bisa memberi prediksi buruk. Matematika regularisasi, validasi silang, dan evaluasi model membantu kita mengendalikan masalah seperti ini.

Buku ini membangun pemahaman tersebut secara bertahap. Kita akan mulai dari gagasan paling dasar: data sebagai vektor. Setelah itu, kita memperkuat aljabar linear, karena matriks adalah cara ringkas untuk menyimpan banyak vektor dan menyatakan transformasi linear. Kemudian kita mempelajari geometri matriks, proyeksi, nilai eigen, vektor eigen, dan dekomposisi, karena konsep-konsep ini menjelaskan mengapa metode seperti regresi linear dan principal component analysis bekerja.

Setelah fondasi geometri dan aljabar terbentuk, kita masuk ke kalkulus. Turunan satu variabel membantu kita memahami sensitivitas fungsi. Kalkulus multivariabel memperluas gagasan itu ke banyak parameter. Dari sana, optimisasi menjadi wajar: jika kita tahu bagaimana fungsi rugi berubah, kita dapat mencari cara menurunkannya.

Bagian berikutnya membangun probabilitas dan statistika. Kita akan mempelajari peubah acak, distribusi, nilai harapan, varians, kovarians, probabilitas bersyarat, aturan Bayes, likelihood, estimator, dan inferensi. Istilah-istilah ini mungkin tampak banyak, tetapi semuanya menjawab satu kebutuhan: bagaimana bernalar dengan data yang terbatas, bervariasi, dan tidak pasti.

Sesudah fondasi itu tersedia, kita masuk ke model pembelajaran mesin yang lebih konkret: regresi linear, regresi teratur, regresi logistik, support vector machine, naive Bayes, principal component analysis, clustering, jaringan saraf, optimisasi stokastik, dan evaluasi model. Setiap model akan diperlakukan bukan sebagai resep perangkat lunak, melainkan sebagai susunan ide matematis: representasi data, fungsi model, fungsi rugi, asumsi probabilistik, metode optimisasi, dan cara evaluasi.

Sikap belajar yang disarankan dalam buku ini adalah pelan tetapi aktif. Jangan hanya bertanya, “Rumusnya apa?” Tanyakan juga:

• Apa objek matematis yang sedang dibahas: skalar, vektor, matriks, fungsi, distribusi, atau estimator?
• Apa makna setiap simbol?
• Apa yang diketahui dari data, dan apa yang harus dipelajari?
• Apa fungsi rugi yang sedang diminimalkan?
• Apa asumsi model terhadap data?
• Apa yang terjadi jika asumsi itu tidak cocok?
• Bagaimana kita tahu model bekerja baik pada data baru?

Pertanyaan-pertanyaan ini membuat pembelajaran mesin tidak terasa seperti kumpulan algoritma terpisah. Regresi linear, regresi logistik, support vector machine, naive Bayes, PCA, clustering, dan jaringan saraf memang berbeda, tetapi semuanya dapat dibaca melalui pola yang sama: data direpresentasikan, model membuat prediksi atau struktur, fungsi tujuan menilai kualitas, optimisasi mencari parameter, dan evaluasi memeriksa kinerja.

Perlu juga ditekankan bahwa matematika bukan jaminan otomatis bahwa model akan berguna atau adil. Model dapat dilatih pada data yang bias. Evaluasi dapat bocor karena data uji tidak benar-benar terpisah dari data latih. Korelasi dapat disalahartikan sebagai kausalitas. Distribusi data di dunia nyata dapat berubah setelah model diterapkan. Karena itu, bagian akhir buku membahas ketidakpastian, bias, keandalan model, dan alur kerja pembelajaran mesin secara menyeluruh. Pemahaman matematis justru membantu kita lebih kritis, bukan lebih mudah percaya pada angka.

Pada akhir buku, Anda diharapkan mampu membaca sebuah metode pembelajaran mesin dengan pertanyaan matematis yang tepat. Ketika melihat model baru, Anda dapat bertanya: ruang fiturnya apa, parameternya apa, fungsi ruginya apa, bagaimana optimisasinya dilakukan, asumsi probabilistiknya apa, dan bagaimana generalisasinya dievaluasi. Dengan bekal itu, perangkat lunak pembelajaran mesin tidak lagi tampak seperti kotak hitam sepenuhnya. Ia menjadi alat yang dapat Anda gunakan dengan pemahaman, kehati-hatian, dan rasa ingin tahu yang sehat.

References

Bishop, C. M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer.

Boyd, S., dan Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.

Goodfellow, I., Bengio, Y., dan Courville, A. (2016). Deep Learning. MIT Press.

Hastie, T., Tibshirani, R., dan Friedman, J. (2009). The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction (2nd ed.). Springer.

Mitchell, T. M. (1997). Machine Learning. McGraw-Hill.

Murphy, K. P. (2022). Probabilistic Machine Learning: An Introduction. MIT Press.

Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press.