Pendahuluan

Probabilitas muncul ketika kita ingin berpikir jernih tentang ketidakpastian.

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak pertanyaan tidak dapat dijawab dengan kepastian mutlak sebelum prosesnya terjadi. Apakah besok hujan? Apakah sebuah komponen akan rusak dalam satu tahun? Apakah seorang mahasiswa akan lulus jika pola belajarnya seperti ini? Apakah pesan tertentu termasuk spam? Apakah hasil lemparan dadu berikutnya adalah 6?

Pertanyaan-pertanyaan itu berbeda dari pertanyaan seperti “berapa hasil \(2+3\)?” atau “jika sebuah persegi memiliki sisi 4 cm, berapa luasnya?” Pada pertanyaan terakhir, jawaban ditentukan sepenuhnya oleh aturan matematika dan data yang diberikan. Pada pertanyaan pertama, kita berhadapan dengan ketidakpastian: ada beberapa hasil yang mungkin, tetapi kita belum tahu hasil mana yang akan terjadi.

Buku ini membahas cara memberi bentuk matematis pada ketidakpastian tersebut. Bentuk matematis itu disebut probabilitas atau peluang.

Secara sederhana, peluang adalah bilangan yang digunakan untuk menyatakan seberapa mungkin suatu kejadian terjadi. Peluang biasanya berada di antara 0 dan 1. Peluang 0 berarti kejadian mustahil dalam model yang sedang dipakai; peluang 1 berarti kejadian pasti dalam model itu. Peluang \(0{,}5\) berarti kejadian tersebut memiliki peluang setengah, tetapi makna tepatnya harus selalu dibaca dalam konteks modelnya.

Misalnya, jika sebuah koin dianggap seimbang, kita sering memberi peluang

\[ P(\text{muncul gambar}) = \frac{1}{2}. \]

Pernyataan ini bukan berarti bahwa dalam dua lemparan pasti muncul satu gambar dan satu angka. Pernyataan itu berarti bahwa dalam model koin seimbang, hasil gambar dan angka diperlakukan sama mungkin pada satu lemparan. Jika koin dilempar sangat banyak kali dalam kondisi serupa, proporsi kemunculan gambar cenderung mendekati \(\frac{1}{2}\), meskipun tidak harus sama persis pada jumlah lemparan yang kecil. Hubungan antara model peluang dan frekuensi jangka panjang merupakan salah satu motivasi klasik dalam teori probabilitas, dan dibahas secara luas dalam buku-buku probabilitas dasar seperti Feller (1968) dan Ross (2014).

Probabilitas modern tidak hanya bergantung pada intuisi “sering muncul” atau “terasa mungkin”. Agar dapat dipakai secara konsisten, probabilitas dibangun di atas aturan matematis yang jelas. Perumusan aksiomatik yang menjadi dasar teori probabilitas modern dikembangkan oleh Andrey Kolmogorov pada abad ke-20; dalam pendekatan ini, peluang didefinisikan sebagai fungsi yang memberi bilangan pada kejadian dan memenuhi beberapa aksioma dasar, seperti peluang tidak negatif dan peluang ruang sampel sama dengan 1 (Kolmogorov, 1956). Kita tidak akan memulai buku ini dengan formalitas penuh, tetapi arah berpikirnya sama: setiap perhitungan peluang harus bertumpu pada model yang jelas.

Dari ketidakpastian menuju model

Langkah pertama dalam probabilitas bukan menghitung, melainkan memodelkan.

Sebuah model probabilitas adalah gambaran matematis sederhana dari situasi acak. Model tidak memuat seluruh detail dunia nyata. Model hanya mengambil bagian yang relevan untuk pertanyaan yang sedang kita jawab.

Misalnya, dalam lemparan satu dadu biasa, kita sering memakai model:

\[ S = \{1,2,3,4,5,6\}. \]

Himpunan \(S\) ini disebut ruang sampel, yaitu himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak. Setiap anggota ruang sampel disebut titik sampel. Jadi angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah titik sampel.

Jika kita tertarik pada pertanyaan “apakah hasilnya genap?”, maka kejadian yang sedang kita amati adalah

\[ A = \{2,4,6\}. \]

Dalam probabilitas, kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian “muncul bilangan genap” terdiri dari tiga titik sampel, yaitu 2, 4, dan 6.

Jika dadu dianggap adil, setiap titik sampel diberi peluang yang sama, yaitu \(\frac{1}{6}\). Maka

\[ P(A)=P(\{2,4,6\})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}. \]

Contoh ini sederhana, tetapi memuat pola umum yang akan terus dipakai dalam buku ini:

1. tentukan percobaan acak,
2. tentukan ruang sampel,
3. nyatakan pertanyaan sebagai kejadian,
4. tetapkan model peluang,
5. hitung peluang kejadian.

Kesalahan umum dalam probabilitas sering muncul karena salah satu langkah ini dilewati. Misalnya, seseorang langsung berkata “peluangnya setengah” hanya karena ada dua kemungkinan yang disebutkan. Padahal dua kemungkinan yang disebutkan belum tentu sama mungkin.

Sebagai contoh, pertanyaan “besok hujan atau tidak hujan” memang memiliki dua kategori jawaban, tetapi tidak otomatis berarti peluang hujan adalah \(\frac{1}{2}\). Cuaca dipengaruhi banyak kondisi, sehingga model “dua hasil berarti sama peluang” tidak tepat tanpa alasan tambahan. Buku ini akan berkali-kali menekankan bahwa peluang bukan sekadar menghitung banyaknya label kemungkinan, melainkan menghitung berdasarkan model yang benar.

Tiga wajah penting: bersama, marginal, dan bersyarat

Salah satu tujuan utama buku ini adalah membantu Anda membedakan tiga jenis peluang yang sering tertukar: peluang bersama, peluang marginal, dan peluang bersyarat.

Bayangkan sebuah kelas mahasiswa. Untuk setiap mahasiswa, kita mencatat dua hal:

• apakah mahasiswa itu rutin belajar setiap minggu;
• apakah mahasiswa itu lulus ujian.

Misalkan \(A\) adalah kejadian “mahasiswa rutin belajar”, dan \(B\) adalah kejadian “mahasiswa lulus ujian”.

Peluang bersama menjawab pertanyaan tentang dua kejadian yang terjadi sekaligus. Misalnya,

\[ P(A \cap B) \]

adalah peluang bahwa seorang mahasiswa rutin belajar dan lulus ujian. Simbol \(\cap\) dibaca “irisan”, yaitu bagian yang dimiliki bersama oleh dua kejadian.

Peluang marginal menjawab pertanyaan tentang satu kejadian saja, tanpa mensyaratkan kejadian lain. Misalnya,

\[ P(B) \]

adalah peluang seorang mahasiswa lulus ujian, terlepas dari apakah ia rutin belajar atau tidak. Disebut “marginal” karena dalam tabel peluang, nilai seperti ini sering diperoleh dari jumlah pada pinggir atau margin tabel.

Peluang bersyarat menjawab pertanyaan setelah informasi tertentu diketahui. Misalnya,

\[ P(B \mid A) \]

dibaca “peluang \(B\) dengan syarat \(A\)”. Artinya: peluang mahasiswa lulus ujian jika diketahui bahwa mahasiswa tersebut rutin belajar.

Ketiga bentuk ini berhubungan, tetapi tidak sama. Secara umum,

\[ P(B \mid A) \neq P(A \cap B). \]

Sebagai contoh, jika dari 100 mahasiswa terdapat 40 yang rutin belajar dan 30 di antaranya lulus, maka

\[ P(A \cap B)=\frac{30}{100}=0{,}30. \]

Namun peluang lulus jika diketahui rutin belajar adalah

\[ P(B \mid A)=\frac{30}{40}=0{,}75. \]

Angka 0,30 dan 0,75 menjawab pertanyaan yang berbeda. Angka 0,30 memakai seluruh kelas sebagai pembanding. Angka 0,75 hanya memakai kelompok mahasiswa yang rutin belajar sebagai pembanding.

Perbedaan seperti ini sangat penting dalam statistika, sains data, epidemiologi, ekonomi, rekayasa, dan banyak bidang lain. Banyak kekeliruan penalaran muncul karena seseorang mencampuradukkan peluang bersama, marginal, dan bersyarat. Buku probabilitas modern biasanya menempatkan peluang bersyarat dan independensi sebagai pusat pemahaman, bukan sekadar topik tambahan, karena keduanya menentukan cara kita membaca informasi baru secara benar (Blitzstein & Hwang, 2019; Ross, 2014).

Mengapa Teorema Bayes penting?

Dalam banyak situasi, kita tidak hanya ingin menghitung peluang sebelum ada informasi. Kita juga ingin memperbarui peluang setelah mendapatkan bukti baru.

Misalnya, sebuah tes medis memberi hasil positif. Pertanyaan yang sering muncul adalah:

Jika hasil tes positif, berapa peluang orang tersebut benar-benar memiliki penyakit?

Pertanyaan ini berbeda dari:

Jika seseorang memiliki penyakit, berapa peluang tesnya positif?

Yang kedua berkaitan dengan kemampuan tes mendeteksi penyakit pada orang yang memang sakit. Yang pertama berkaitan dengan peluang seseorang sakit setelah kita melihat hasil tes positif. Dua pertanyaan ini sering tertukar.

Teorema Bayes adalah aturan matematis yang menghubungkan dua arah informasi tersebut. Dalam bentuk sederhana,

\[ P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}. \]

Rumus ini akan dibangun perlahan dari peluang bersyarat dan hukum peluang total. Untuk sekarang, maknanya cukup dipahami sebagai berikut: Teorema Bayes memberi cara untuk memperbarui peluang suatu hipotesis \(A\) setelah bukti \(B\) diketahui.

Misalnya, \(A\) dapat berarti “seseorang memiliki penyakit”, sedangkan \(B\) berarti “hasil tes positif”. Teorema Bayes membantu menghitung \(P(A \mid B)\), yaitu peluang seseorang benar-benar sakit setelah hasil tesnya positif. Dalam banyak kasus, jawaban ini juga dipengaruhi oleh seberapa umum penyakit tersebut di populasi. Jadi tes yang tampak sangat akurat tetap harus dibaca bersama peluang dasar atau base rate penyakit. Pembahasan tentang pembaruan informasi melalui Teorema Bayes merupakan bagian standar dalam teori probabilitas dan inferensi probabilistik (Jaynes, 2003; Blitzstein & Hwang, 2019).

Dari kejadian menuju peubah acak

Pada bagian awal buku, kita akan banyak berbicara tentang kejadian. Namun dalam banyak persoalan, kita ingin merangkum hasil acak menjadi bilangan.

Di sinilah muncul konsep peubah acak.

Peubah acak adalah fungsi yang memberikan bilangan real pada setiap hasil dalam ruang sampel. Kata “acak” tidak berarti fungsinya berubah-ubah tanpa aturan. Fungsi tersebut tetap jelas. Yang acak adalah hasil percobaan yang menjadi masukannya.

Misalnya, kita melempar dua koin. Ruang sampelnya dapat ditulis sebagai

\[ S=\{AA, AG, GA, GG\}, \]

dengan \(A\) berarti angka dan \(G\) berarti gambar. Sekarang definisikan \(X\) sebagai banyaknya gambar yang muncul. Maka

\[ X(AA)=0,\quad X(AG)=1,\quad X(GA)=1,\quad X(GG)=2. \]

Peubah acak \(X\) mengubah hasil yang berupa pasangan simbol menjadi bilangan. Setelah itu, kita dapat bertanya:

\[ P(X=0),\quad P(X=1),\quad P(X=2). \]

Jika koin seimbang dan lemparan dianggap independen, maka

\[ P(X=0)=\frac{1}{4},\quad P(X=1)=\frac{2}{4},\quad P(X=2)=\frac{1}{4}. \]

Daftar peluang untuk nilai-nilai \(X\) disebut distribusi peluang dari \(X\). Distribusi peluang adalah cara lengkap untuk menjelaskan ketidakpastian numerik suatu peubah acak.

Konsep ini akan membawa kita ke distribusi-distribusi dasar seperti Bernoulli, binomial, geometrik, hipergeometrik, Poisson, seragam kontinu, eksponensial, dan normal. Distribusi tersebut bukan sekadar kumpulan rumus. Masing-masing adalah model untuk pola ketidakpastian tertentu. Misalnya, distribusi binomial cocok untuk menghitung banyak keberhasilan dalam sejumlah percobaan Bernoulli yang independen dengan peluang keberhasilan sama, sedangkan distribusi hipergeometrik cocok untuk pengambilan sampel tanpa pengembalian. Perbedaan asumsi seperti ini penting dan menjadi tema berulang dalam buku ini (Ross, 2014).

Cara berpikir yang akan dilatih

Buku ini tidak bertujuan membuat Anda menghafal banyak rumus secara terpisah. Rumus memang penting, tetapi rumus yang tidak dipahami mudah disalahgunakan.

Yang akan dilatih adalah cara berpikir sistematis.

Saat menghadapi persoalan probabilitas, kita akan belajar bertanya:

Apa percobaan acaknya? Apa ruang sampelnya? Apa kejadian yang diminta? Apakah hasil-hasilnya sama mungkin? Apakah ada informasi bersyarat? Apakah perlu memakai aturan perkalian? Apakah perlu menjumlahkan beberapa skenario dengan hukum peluang total? Apakah persoalannya lebih mudah jika didefinisikan peubah acak? Apakah distribusi tertentu benar-benar sesuai dengan asumsi persoalan?

Contoh kecil berikut menunjukkan pentingnya pertanyaan-pertanyaan itu.

Misalkan sebuah kotak berisi 3 bola merah dan 2 bola biru. Dua bola diambil tanpa pengembalian. Berapa peluang kedua bola merah?

Jika kita langsung mengalikan \(\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}\), kita secara diam-diam menganggap pengambilan kedua memiliki kondisi yang sama dengan pengambilan pertama. Itu salah, karena setelah satu bola diambil, isi kotak berubah.

Cara sistematisnya adalah:

Peluang bola pertama merah adalah

\[ \frac{3}{5}. \]

Jika bola pertama merah, maka tersisa 2 bola merah dari 4 bola total. Jadi peluang bola kedua merah dengan syarat bola pertama merah adalah

\[ \frac{2}{4}. \]

Maka peluang kedua bola merah adalah

\[ \frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}. \]

Contoh ini sederhana, tetapi memuat gagasan besar: probabilitas harus mengikuti struktur informasi. Ketika kondisi berubah, peluang bersyarat berubah.

Apa yang diharapkan setelah membaca buku ini?

Setelah menyelesaikan buku ini, Anda diharapkan mampu membaca persoalan probabilitas dengan lebih tenang. Anda tidak harus langsung tahu rumus mana yang dipakai. Yang lebih penting, Anda tahu cara membangun persoalan dari awal.

Anda akan belajar memahami ruang sampel dan kejadian, menghitung kemungkinan dengan kombinatorika dasar, memakai aksioma peluang, menyusun model peluang pada ruang sampel hingga, bekerja dengan peluang bersyarat, membedakan independensi dari kejadian saling lepas, menggunakan hukum peluang total dan Teorema Bayes, serta membaca peluang bersama, marginal, dan bersyarat dalam tabel.

Setelah itu, Anda akan masuk ke peubah acak dan distribusi peluang. Anda akan mempelajari peubah acak diskret dan kontinu, nilai harapan, varians, simpangan baku, beberapa distribusi dasar, transformasi peubah acak, pasangan peubah acak, kovarians, korelasi, dan akhirnya strategi menyelesaikan persoalan probabilitas secara utuh.

Probabilitas adalah bahasa untuk berpikir di bawah ketidakpastian. Seperti bahasa lain, ia membutuhkan kosakata, tata aturan, dan latihan membaca konteks. Buku ini akan membangun ketiganya secara bertahap: dari kejadian sederhana hingga peubah acak dan distribusi.

References

Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1 (3rd ed.). Wiley.

Jaynes, E. T. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press.

Kolmogorov, A. N. (1956). Foundations of the Theory of Probability (2nd English ed.). Chelsea Publishing Company.

Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability (9th ed.). Pearson.