Log in to access more pages. Create an account or log in to continue reading more pages.

Pendahuluan

Bayangkan Anda merekam suara tepukan tangan dengan ponsel. Di layar aplikasi perekam, suara itu tampak sebagai gelombang yang naik turun terhadap waktu. Jika dilihat lebih jauh, gelombang itu bukan sekadar gambar. Ia menyimpan informasi: kapan tepukan terjadi, seberapa keras bunyinya, berapa lama pantulannya bertahan, dan frekuensi apa saja yang dominan. Dalam bahasa buku ini, rekaman tersebut adalah sinyal.

Sekarang bayangkan suara yang sama diproses oleh aplikasi pengurang noise. Masukan aplikasi adalah rekaman yang berisik, keluarannya adalah rekaman yang lebih bersih. Aplikasi itu melakukan suatu perubahan teratur terhadap sinyal masukan. Dalam bahasa buku ini, aplikasi tersebut adalah sistem.

Dua kata itulah pusat buku ini: sinyal dan sistem.

Secara sederhana, sinyal adalah besaran yang berubah terhadap satu atau lebih variabel bebas dan membawa informasi. Dalam banyak contoh teknik elektro, variabel bebas itu adalah waktu. Tegangan mikrofon berubah terhadap waktu. Suhu ruangan berubah terhadap waktu. Kecepatan motor berubah terhadap waktu. Nilai tekanan udara pada sensor juga berubah terhadap waktu. Representasi sinyal sebagai fungsi terhadap variabel bebas adalah cara standar dalam pembelajaran sinyal dan sistem modern (Oppenheim, Willsky, dan Nawab, 1997).

Jika variabel waktunya dianggap mengalir terus-menerus, kita menyebutnya sinyal waktu kontinu. Notasinya biasanya ditulis

\[ x(t), \]

dengan \(t\) menyatakan waktu kontinu. Contohnya adalah tegangan analog pada keluaran sensor suhu sebelum diubah menjadi data digital.

Jika sinyal hanya didefinisikan pada titik-titik waktu tertentu, misalnya setiap 1 milidetik, kita menyebutnya sinyal waktu diskret. Notasinya biasanya ditulis

\[ x[n], \]

dengan \(n\) menyatakan indeks bilangan bulat. Contohnya adalah data audio digital yang disimpan di komputer. Audio digital tidak menyimpan semua nilai tekanan udara pada setiap waktu kontinu; ia menyimpan urutan angka hasil pengambilan sampel.

Perbedaan ini akan menjadi salah satu benang merah buku: sebagian dunia fisik tampak alami dalam waktu kontinu, sedangkan sebagian besar komputasi modern bekerja dalam waktu diskret. Buku ini akan membantu Anda berpindah di antara keduanya dengan hati-hati.

Sementara itu, sistem adalah aturan atau mekanisme yang menerima sinyal masukan dan menghasilkan sinyal keluaran. Jika masukan ditulis \(x\) dan keluaran ditulis \(y\), kita dapat menulis secara ringkas

\[ y = T\{x\}, \]

dengan \(T\) menyatakan sistem. Contohnya, pengeras suara menerima sinyal listrik dan menghasilkan gelombang tekanan udara. Filter digital menerima urutan angka audio dan menghasilkan urutan angka baru. Suspensi kendaraan menerima gangguan dari permukaan jalan dan menghasilkan gerakan bodi kendaraan. Banyak sistem fisik, elektronik, mekanik, dan digital dapat dianalisis sebagai hubungan masukan-keluaran semacam ini (Lathi, 2005).

Tujuan utama buku ini bukan hanya membuat Anda dapat menghitung rumus. Tujuan yang lebih penting adalah membuat Anda dapat menjawab pertanyaan seperti:

Apa informasi penting yang terkandung dalam sinyal ini?
Apakah sinyal ini lebih mudah dipahami dalam kawasan waktu atau kawasan frekuensi?
Jika sinyal ini masuk ke sistem tertentu, seperti apa keluarannya?
Bagaimana cara merancang sistem agar bagian sinyal tertentu diperkuat, dilemahkan, atau dibuang?
Kapan analisis matematis kita masih sesuai dengan dunia nyata, dan kapan asumsi kita perlu diperiksa?

Pertanyaan-pertanyaan ini muncul di banyak bidang: audio, komunikasi, kendali, instrumentasi, radar, pengolahan citra, biomedis, geofisika, dan pembelajaran mesin berbasis data sensor. Walaupun aplikasinya luas, ide dasarnya dapat dibangun dari beberapa konsep inti: fungsi, operasi sinyal, sistem linear, konvolusi, impuls, Fourier, respons frekuensi, dan penyaringan.

Mengapa kawasan waktu saja tidak cukup?

Cara paling langsung melihat sinyal adalah melihat bentuknya terhadap waktu. Misalnya, jika \(x(t)\) adalah suara tepukan tangan, grafik waktu menunjukkan kapan tepukan terjadi dan bagaimana amplitudonya mereda. Ini disebut analisis di kawasan waktu. Kawasan waktu sangat alami karena kita hidup dalam urutan kejadian: sebelum, saat ini, sesudah.

Namun, banyak sifat sinyal tidak tampak jelas jika hanya dilihat terhadap waktu.

Ambil contoh suara nada musik. Dua nada dapat sama-sama berbentuk gelombang naik turun, tetapi terdengar berbeda karena kandungan frekuensinya berbeda. Nada A4 pada piano memiliki frekuensi dasar sekitar 440 Hz. Nada yang sama pada biola memiliki frekuensi dasar yang sama, tetapi warna bunyinya berbeda karena komponen harmoniknya berbeda. Dari grafik waktu saja, perbedaan ini sering sulit dibaca dengan cepat. Di kawasan frekuensi, perbedaan itu menjadi lebih jelas: kita melihat “komponen-komponen sinusoidal” yang menyusun sinyal.

Gagasan kawasan frekuensi didasarkan pada fakta bahwa banyak sinyal dapat direpresentasikan, tepat atau dalam arti tertentu mendekati, sebagai gabungan sinusoid atau eksponensial kompleks. Representasi Fourier adalah alat utama untuk melakukan hal ini. Dalam teori Fourier, sinyal dipandang melalui kandungan frekuensinya, bukan hanya bentuk waktunya (Bracewell, 2000).

Contoh sederhana: sebuah sinyal

\[ x(t) = \cos(2\pi 100t) + 0.5\cos(2\pi 300t) \]

adalah gabungan dua sinusoid. Di kawasan waktu, kita melihat satu gelombang hasil penjumlahan. Di kawasan frekuensi, kita melihat dua komponen utama: satu pada 100 Hz dan satu pada 300 Hz, dengan komponen 300 Hz memiliki amplitudo setengah dari komponen 100 Hz. Kedua cara melihat ini benar, tetapi menonjolkan informasi yang berbeda.

Buku ini akan mengajarkan bahwa kawasan waktu dan kawasan frekuensi bukan dua dunia terpisah. Keduanya adalah dua cara merepresentasikan objek yang sama. Seperti melihat bangunan dari depan dan dari atas: bentuknya sama, tetapi informasi yang tampak berbeda.

Mengapa sistem linear begitu penting?

Tidak semua sistem mudah dianalisis. Ada sistem yang perilakunya berubah-ubah, bergantung pada amplitudo masukan, atau memiliki hubungan sangat rumit antara masukan dan keluaran. Untuk mulai belajar secara kokoh, kita memusatkan perhatian pada kelas sistem yang sangat penting: sistem linear invarian waktu, sering disingkat sistem LTI.

Sebelum istilah itu dipakai terus-menerus, mari kita uraikan dari awal.

Sebuah sistem disebut linear jika memenuhi dua gagasan dasar:

Jika masukan diperbesar, keluarannya ikut diperbesar dengan faktor yang sama.
Jika dua masukan dijumlahkan, keluarannya adalah jumlah dari keluaran masing-masing masukan.

Dua gagasan ini disebut homogenitas dan aditivitas. Digabungkan, keduanya membentuk prinsip superposisi. Misalnya, jika sistem audio ideal menghasilkan keluaran \(y_1(t)\) untuk masukan \(x_1(t)\), dan menghasilkan \(y_2(t)\) untuk masukan \(x_2(t)\), maka untuk masukan

\[ 3x_1(t) - 2x_2(t), \]

keluarannya adalah

\[ 3y_1(t) - 2y_2(t). \]

Itu adalah perilaku linear.

Sebuah sistem disebut invarian waktu jika perilakunya tidak berubah hanya karena masukan digeser waktunya. Jika Anda menunda masukan selama 2 detik, keluaran juga hanya tertunda 2 detik, tanpa berubah bentuk karena tanggal, jam, atau posisi waktu. Sistem ideal seperti resistor tetap, filter digital dengan koefisien tetap, atau model mekanik dengan parameter konstan sering dipelajari sebagai sistem invarian waktu.

Gabungan linearitas dan invariansi waktu menghasilkan struktur matematika yang sangat kuat. Untuk sistem LTI, jika kita tahu respons sistem terhadap sinyal impuls, kita dapat menentukan respons terhadap sinyal lain melalui konvolusi. Selain itu, eksponensial kompleks menjadi fungsi istimewa: ketika masuk ke sistem LTI, bentuknya tetap eksponensial kompleks, hanya amplitudo dan fasenya berubah. Inilah salah satu alasan analisis Fourier menjadi sangat efektif untuk sistem LTI (Oppenheim, Willsky, dan Nawab, 1997).

Contoh intuitifnya begini. Bayangkan sistem sebagai ruangan yang menghasilkan gema. Jika Anda tahu bagaimana ruangan merespons satu bunyi sangat pendek, seperti tepukan impulsif, Anda dapat memperkirakan bagaimana ruangan merespons suara bicara yang lebih panjang. Suara bicara dapat dipandang sebagai susunan banyak kontribusi kecil sepanjang waktu. Respons totalnya adalah penjumlahan respons terhadap kontribusi-kontribusi kecil itu. Inilah intuisi di balik konvolusi.

Impuls sebagai alat ukur sistem

Salah satu ide yang awalnya terasa aneh tetapi sangat berguna adalah impuls. Dalam waktu diskret, impuls mudah dibayangkan: urutan yang bernilai 1 pada satu indeks dan 0 di indeks lain. Impuls diskret ini disebut delta Kronecker dan biasanya ditulis

\[ \delta[n]. \]

Misalnya,

\[ \delta[0] = 1,\quad \delta[n] = 0 \text{ untuk } n \neq 0. \]

Dalam waktu kontinu, impuls ideal disebut impuls Dirac. Ia bukan fungsi biasa dalam pengertian kalkulus dasar, melainkan objek matematis yang sangat sempit, sangat tinggi, dan memiliki luas total 1. Impuls Dirac digunakan sebagai model ideal untuk kejadian yang berlangsung sangat singkat dibandingkan skala waktu yang diamati. Perlakuan impuls Dirac secara tepat memerlukan kerangka distribusi atau fungsi umum, tetapi dalam sinyal dan sistem ia dapat digunakan secara terkontrol melalui sifat integralnya (Oppenheim, Willsky, dan Nawab, 1997).

Mengapa impuls penting? Karena respons sistem LTI terhadap impuls disebut respons impuls, dan respons impuls dapat dianggap sebagai sidik jari sistem. Jika respons impuls diketahui, keluaran sistem untuk masukan lain dapat dihitung dengan konvolusi.

Contoh: sebuah filter digital sederhana dapat memiliki respons impuls

\[ h[n] = \frac{1}{3}\delta[n] + \frac{1}{3}\delta[n-1] + \frac{1}{3}\delta[n-2]. \]

Sistem ini merata-ratakan tiga sampel terakhir. Jika masukan adalah data sensor yang sedikit berisik, keluaran menjadi lebih halus. Dari bentuk \(h[n]\), kita dapat membaca bahwa sistem mengambil kontribusi dari sampel saat ini, satu sampel sebelumnya, dan dua sampel sebelumnya, masing-masing dengan bobot sama.

Jadi, respons impuls bukan sekadar definisi formal. Ia memberi cara membaca memori dan pola kerja sistem.

Fourier sebagai bahasa frekuensi

Nama Fourier sering muncul dalam teknik karena deret Fourier dan transformasi Fourier memberi cara sistematis untuk memecah sinyal menjadi komponen frekuensi. Untuk sinyal periodik, alat utamanya adalah deret Fourier. Untuk sinyal aperiodik, alat utamanya adalah transformasi Fourier.

Sinyal periodik adalah sinyal yang mengulang bentuknya setelah selang waktu tertentu. Contoh idealnya adalah sinusoid murni:

\[ x(t) = \cos(2\pi f_0 t). \]

Sinyal ini mengulang setiap

\[ T_0 = \frac{1}{f_0}. \]

Jika \(f_0 = 100\) Hz, periodenya adalah 0,01 detik. Deret Fourier menyatakan sinyal periodik sebagai kombinasi sinusoid pada frekuensi dasar dan kelipatannya. Komponen kelipatan ini disebut harmonik.

Sinyal aperiodik tidak mengulang secara persis selamanya. Contohnya adalah satu pulsa pendek, rekaman satu kata, atau sinyal getaran akibat satu benturan. Untuk sinyal seperti ini, transformasi Fourier memberikan spektrum kontinu, yaitu gambaran kandungan frekuensi sebagai fungsi frekuensi.

Penting untuk memahami bahwa Fourier bukan “mengubah sinyal menjadi sesuatu yang lain” dalam arti fisik. Fourier mengubah cara kita mendeskripsikan sinyal. Sinyal yang sama dapat ditulis sebagai fungsi waktu atau sebagai informasi frekuensi. Jika syarat matematisnya terpenuhi, kita dapat berpindah bolak-balik antara kedua representasi itu melalui transformasi Fourier dan transformasi baliknya (Bracewell, 2000).

Contoh praktis: jika rekaman audio mengandung dengung listrik 50 Hz atau 60 Hz, gangguan itu mungkin sulit dihilangkan hanya dengan melihat bentuk gelombang waktu. Namun di spektrum frekuensi, gangguan tersebut sering muncul sebagai komponen tajam pada frekuensi tertentu. Filter dapat dirancang untuk melemahkan frekuensi itu.

Penyaringan sebagai tindakan memilih

Setelah kita dapat melihat sinyal dalam kawasan frekuensi, kita dapat bertanya: bagian mana yang ingin dipertahankan, dan bagian mana yang ingin dikurangi? Di sinilah konsep filter atau penyaring masuk.

Filter adalah sistem yang dirancang untuk mengubah komponen tertentu dari sinyal. Dalam pembelajaran awal, filter sering dibedakan berdasarkan frekuensi yang dilewatkan:

Low-pass filter melewatkan frekuensi rendah dan melemahkan frekuensi tinggi.
High-pass filter melewatkan frekuensi tinggi dan melemahkan frekuensi rendah.
Band-pass filter melewatkan rentang frekuensi tertentu.
Band-stop filter melemahkan rentang frekuensi tertentu.

Contoh low-pass filter adalah perata-rata bergerak pada data sensor. Jika sensor suhu menghasilkan pembacaan yang berfluktuasi cepat karena noise, perata-rata bergerak dapat mengurangi variasi cepat tersebut. Dalam banyak kasus, variasi cepat berhubungan dengan komponen frekuensi tinggi, sehingga perata-rata bergerak dapat dipahami sebagai penyaring low-pass sederhana.

Namun, buku ini juga akan menekankan bahwa filter bukan alat ajaib. Melemahkan frekuensi tinggi dapat mengurangi noise, tetapi juga dapat mengaburkan perubahan cepat yang sebenarnya penting. Pada audio, filter yang terlalu agresif dapat membuat suara terdengar tumpul. Pada data getaran mesin, komponen frekuensi tinggi bisa jadi justru tanda awal kerusakan. Karena itu, penyaringan harus dilakukan dengan pemahaman terhadap sinyal, sistem, dan tujuan analisis.

Dari analog ke digital: sampling dan aliasing

Dalam dunia modern, banyak sinyal fisik akhirnya diproses oleh komputer. Agar sinyal waktu kontinu dapat masuk ke komputer, sinyal tersebut harus diukur pada waktu-waktu tertentu. Proses ini disebut sampling atau pengambilan sampel.

Misalnya, audio CD memakai laju sampling 44.100 sampel per detik. Artinya, setiap detik suara direpresentasikan oleh 44.100 angka. Secara ideal, jika suatu sinyal dibatasi pita frekuensinya dan laju sampling cukup tinggi, sinyal kontinu dapat direkonstruksi dari sampel-sampelnya. Hasil ini merupakan inti teori sampling yang dipaparkan dalam bentuk klasik oleh Shannon untuk komunikasi dan representasi sinyal terbatas pita (Shannon, 1949).

Namun, jika sampling terlalu lambat, frekuensi tinggi dapat menyamar sebagai frekuensi rendah. Peristiwa ini disebut aliasing. Contoh visual yang sering ditemui adalah roda pada video yang tampak berputar mundur. Kamera mengambil gambar pada waktu-waktu diskret. Jika gerakan roda terlalu cepat dibandingkan laju frame kamera, urutan gambar dapat memberi kesan frekuensi putar yang salah.

Dalam sinyal satu-dimensi, aliasing dapat merusak interpretasi spektrum. Karena itu, sebelum sampling, sering digunakan filter anti-alias untuk melemahkan komponen frekuensi yang terlalu tinggi. Topik ini akan dibahas setelah kita memiliki dasar Fourier dan respons frekuensi.

Cara buku ini membangun pemahaman

Buku ini disusun dari konsep paling dasar menuju alat analisis yang lebih kuat. Pada awalnya, kita belajar membaca sinyal sebagai fungsi: apa variabel bebasnya, apa amplitudonya, apakah sinyal kontinu atau diskret, dan bagaimana notasinya. Setelah itu, kita mempelajari operasi dasar seperti pergeseran, penskalaan, pembalikan waktu, penjumlahan, dan perkalian.

Kemudian kita mengenal sinyal-sinyal dasar: impuls, step, ramp, sinusoid, eksponensial, dan pulsa. Sinyal-sinyal ini bukan daftar hafalan. Mereka adalah blok bangunan. Seperti dalam mekanika kita sering mulai dari massa, pegas, dan redaman, dalam sinyal dan sistem kita sering mulai dari impuls, step, sinusoid, dan eksponensial.

Setelah dasar sinyal cukup kuat, kita masuk ke sistem. Kita belajar menguji apakah sistem linear, invarian waktu, kausal, stabil, memiliki memori, atau dapat dibalik. Sifat-sifat ini penting karena menentukan metode analisis apa yang boleh dipakai. Misalnya, konvolusi sebagai alat utama berlaku untuk sistem LTI. Jika sistem tidak linear atau berubah terhadap waktu, kita harus lebih berhati-hati.

Bagian tengah buku membangun konvolusi dan respons impuls. Di sini Anda akan melihat bahwa keluaran sistem LTI bukan ditebak, melainkan dihitung dari struktur sistem. Untuk waktu diskret, konvolusi berbentuk penjumlahan. Untuk waktu kontinu, konvolusi berbentuk integral. Keduanya memiliki ide yang sama: geser, kalikan, lalu jumlahkan atau integralkan.

Setelah itu, buku bergerak ke kawasan frekuensi. Kita mulai dari eigenfungsi sistem LTI, lalu deret Fourier, transformasi Fourier waktu kontinu, transformasi Fourier waktu diskret, respons frekuensi, dan filter. Pada bagian akhir, kita menghubungkan teori dengan komputasi melalui sampling, DFT, dan FFT, lalu menerapkannya pada sinyal nyata.

Alur ini sengaja dibuat bertahap. Jika Anda langsung melompat ke Fourier tanpa memahami sinyal, sistem, dan konvolusi, Fourier mudah terasa seperti kumpulan rumus. Sebaliknya, jika Anda memahami mengapa sistem LTI merespons eksponensial kompleks dengan cara khusus, Fourier menjadi bahasa alami untuk membaca sistem.

Sikap belajar yang dianjurkan

Sinyal dan sistem adalah mata kuliah yang sering tampak abstrak karena menggunakan banyak notasi. Tetapi sebagian besar notasi itu hanya cara singkat untuk menyatakan ide yang sebenarnya konkret.

Saat melihat rumus, tanyakan tiga hal:

Pertama, “Apa objek yang sedang dibicarakan?” Apakah ini sinyal waktu kontinu \(x(t)\), sinyal diskret \(x[n]\), sistem \(T\), respons impuls \(h\), atau spektrum \(X(\omega)\)?

Kedua, “Apa artinya secara fisik atau geometris?” Jika ada pergeseran \(x(t-t_0)\), bayangkan grafik yang bergeser. Jika ada sinusoid frekuensi tinggi, bayangkan osilasi yang lebih rapat. Jika ada filter low-pass, bayangkan komponen lambat dipertahankan dan komponen cepat dilemahkan.

Ketiga, “Syarat apa yang sedang diasumsikan?” Banyak hasil indah dalam buku ini berlaku karena sistemnya linear dan invarian waktu, atau karena sinyal memenuhi syarat tertentu untuk transformasi Fourier. Matematika teknik yang baik bukan hanya memakai rumus, tetapi juga mengetahui kapan rumus itu berlaku.

Anda tidak perlu memahami seluruh buku sekaligus. Pahami satu ide, uji dengan contoh, lalu lanjutkan. Jika satu persamaan terasa sulit, ubahlah menjadi kalimat. Jika satu kalimat terasa abstrak, buatlah grafik kecil. Jika satu grafik membingungkan, coba nilai numerik sederhana.

Pada akhir buku, targetnya jelas: Anda mampu menganalisis sinyal dalam kawasan waktu dan frekuensi, memahami bagaimana sistem LTI mengubah sinyal, menghitung keluaran dengan konvolusi atau respons frekuensi, membaca spektrum, dan merancang penyaringan dasar dengan alasan yang benar.

Buku ini dimulai dari pertanyaan sederhana: “Apa itu sinyal?” Tetapi arahnya lebih jauh: membangun cara berpikir yang memungkinkan Anda melihat pola tersembunyi dalam data, memahami efek sistem, dan memilih representasi yang tepat untuk menyelesaikan masalah teknik.

References

Bracewell, Ronald N. The Fourier Transform and Its Applications. 3rd ed., McGraw-Hill, 2000.

Lathi, B. P. Linear Systems and Signals. 2nd ed., Oxford University Press, 2005.

Oppenheim, Alan V., Alan S. Willsky, and S. Hamid Nawab. Signals and Systems. 2nd ed., Prentice Hall, 1997.

Shannon, Claude E. “Communication in the Presence of Noise.” Proceedings of the IRE, vol. 37, no. 1, 1949, pp. 10–21.