Pendahuluan

Teori grup adalah salah satu pintu masuk utama menuju aljabar abstrak, yaitu cabang matematika yang mempelajari struktur dan pola operasi secara umum. Kata “abstrak” tidak berarti jauh dari kenyataan atau sulit tanpa alasan. Abstrak berarti kita sengaja melepaskan hal-hal yang tidak penting, lalu mempertahankan pola yang paling mendasar.

Misalnya, perhatikan tiga kegiatan berikut.

Pertama, kita menjumlahkan bilangan:

\[ 2+3=5. \]

Kedua, kita memutar sebuah persegi sebesar \(90^\circ\), lalu memutarnya lagi sebesar \(90^\circ\). Hasilnya sama seperti satu putaran sebesar \(180^\circ\).

Ketiga, kita menukar posisi tiga benda, misalnya urutan

\[ (A,B,C) \]

diubah menjadi

\[ (B,C,A). \]

Sekilas, tiga contoh itu tampak berbeda. Yang pertama tentang bilangan, yang kedua tentang bentuk geometri, dan yang ketiga tentang susunan benda. Namun, semuanya memiliki satu kesamaan: ada objek, ada aturan untuk menggabungkan atau melakukan perubahan, dan ada pola hasil. Teori grup mempelajari pola seperti ini dengan bahasa yang rapi dan umum. Buku-buku aljabar abstrak standar memang memperkenalkan grup sebagai struktur yang menyatukan contoh-contoh dari aritmetika, simetri, dan permutasi dalam satu kerangka yang sama (Dummit dan Foote, 2004; Gallian, 2017).

Apa yang Akan Kita Pelajari?

Buku ini membimbing Anda dari nol menuju tiga gagasan besar:

1. permutasi,
2. subgrup,
3. homomorfisma.

Ketiganya akan muncul perlahan, tetapi sejak awal kita dapat melihat gambaran besarnya.

Sebuah permutasi adalah penyusunan ulang. Jika ada tiga kartu bertuliskan \(1,2,3\), maka mengubah urutan

\[ (1,2,3) \]

menjadi

\[ (2,3,1) \]

adalah contoh permutasi. Dalam teori grup, permutasi tidak hanya dianggap sebagai “urutan baru”, tetapi juga sebagai fungsi bijektif dari suatu himpunan ke dirinya sendiri. Istilah “bijektif” akan dijelaskan dengan hati-hati di Bab 2. Untuk sementara, bayangkan bijektif sebagai aturan yang memasangkan setiap objek lama dengan tepat satu objek baru, tanpa ada yang hilang dan tanpa ada yang tertukar menjadi objek yang sama.

Sebuah subgrup adalah grup yang berada di dalam grup lain. Contoh awalnya dapat dilihat dari bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat adalah

\[ \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}. \]

Jika kita hanya mengambil bilangan bulat genap,

\[ 2\mathbb{Z}=\{\ldots,-4,-2,0,2,4,\ldots\}, \]

maka terhadap operasi penjumlahan, bilangan genap tetap berperilaku seperti grup. Jumlah dua bilangan genap tetap genap, ada identitas penjumlahan yaitu \(0\), dan setiap bilangan genap memiliki lawan penjumlahan yang juga genap. Karena itu, \(2\mathbb{Z}\) adalah contoh subgrup dari \(\mathbb{Z}\).

Sebuah homomorfisma adalah fungsi antara dua grup yang mempertahankan operasi. Gagasan ini penting karena dalam matematika kita tidak hanya ingin melihat objek satu per satu, tetapi juga ingin memahami hubungan antarobjek. Contoh sederhana adalah fungsi yang mengirim setiap bilangan bulat ke “sisa pembagiannya oleh 2”. Dalam bahasa informal, fungsi ini hanya mencatat apakah suatu bilangan bulat itu genap atau ganjil. Misalnya,

\[ 4 \mapsto 0,\qquad 7 \mapsto 1. \]

Fungsi semacam ini mempertahankan pola penjumlahan modulo 2. Sebagai contoh,

\[ 3+5=8, \]

dan jika kita hanya melihat paritasnya, yaitu genap atau ganjil, maka

\[ 1+1 \equiv 0 \pmod 2. \]

Bilangan \(3\) ganjil, \(5\) ganjil, dan jumlahnya \(8\) genap. Pola “ganjil + ganjil = genap” cocok dengan operasi modulo 2. Inilah rasa awal dari homomorfisma: struktur dari satu tempat diterjemahkan ke tempat lain tanpa merusak aturan operasinya.

Mengapa Teori Grup Berguna?

Teori grup berguna karena ia memberi bahasa untuk membahas struktur.

Dalam matematika, struktur berarti kumpulan objek yang dilengkapi aturan tertentu. Sebagai contoh, bilangan bulat dengan penjumlahan memiliki struktur karena kita tahu cara menjumlahkan dua bilangan bulat dan hasilnya tetap bilangan bulat. Permutasi dengan komposisi juga memiliki struktur karena dua penyusunan ulang dapat dilakukan berturut-turut dan hasilnya tetap penyusunan ulang.

Contoh lain datang dari simetri. Sebuah persegi dapat diputar dan dicerminkan tanpa mengubah bentuk akhirnya sebagai persegi. Misalnya, jika persegi diputar \(90^\circ\), bentuknya tetap persegi. Jika diputar \(180^\circ\), bentuknya juga tetap persegi. Jika dicerminkan terhadap garis tengah, bentuknya tetap persegi. Semua gerakan yang mempertahankan bentuk persegi ini dapat dikumpulkan menjadi sebuah grup. Inilah salah satu alasan teori grup sering disebut sebagai bahasa matematika untuk simetri; hubungan antara grup dan simetri merupakan tema pokok dalam aljabar abstrak modern (Dummit dan Foote, 2004).

Namun, buku ini tidak akan langsung melompat ke contoh yang rumit. Kita akan mulai dari pertanyaan sederhana:

• Apa itu himpunan?
• Apa itu fungsi?
• Apa itu operasi?
• Apa maksudnya suatu operasi memiliki identitas?
• Apa maksudnya suatu elemen memiliki invers?
• Mengapa urutan operasi penting?
• Bagaimana cara membuktikan bahwa suatu kumpulan objek adalah grup?

Pertanyaan-pertanyaan ini tampak dasar, tetapi justru menjadi fondasi seluruh buku.

Contoh Awal: Penjumlahan Bilangan Bulat

Mari mulai dari contoh yang akrab.

Ambil himpunan bilangan bulat \(\mathbb{Z}\). Kita tahu bahwa jika dua bilangan bulat dijumlahkan, hasilnya tetap bilangan bulat. Misalnya,

\[ 2+5=7, \]

dan \(7\) masih bilangan bulat. Sifat ini disebut tertutup terhadap penjumlahan.

Ada juga bilangan khusus, yaitu \(0\), yang tidak mengubah bilangan lain jika dijumlahkan:

\[ a+0=a \]

untuk setiap bilangan bulat \(a\). Bilangan \(0\) disebut elemen identitas untuk penjumlahan.

Setiap bilangan bulat juga memiliki lawan. Misalnya, lawan dari \(5\) adalah \(-5\), karena

\[ 5+(-5)=0. \]

Lawan seperti ini disebut invers terhadap operasi yang sedang dibahas. Untuk penjumlahan, invers sering disebut lawan penjumlahan.

Dari contoh ini, kita mulai melihat pola yang nantinya menjadi definisi grup. Sebuah grup bukan sekadar himpunan. Sebuah grup adalah himpunan yang dilengkapi operasi, dan operasi itu harus memenuhi aturan tertentu.

Contoh Awal: Penyusunan Ulang

Sekarang ambil tiga objek:

\[ \{1,2,3\}. \]

Salah satu permutasi dapat mengirim

\[ 1 \mapsto 2,\qquad 2 \mapsto 3,\qquad 3 \mapsto 1. \]

Artinya, objek \(1\) berpindah ke posisi \(2\), objek \(2\) berpindah ke posisi \(3\), dan objek \(3\) berpindah ke posisi \(1\).

Permutasi dapat digabungkan. Misalnya, kita melakukan satu penyusunan ulang, lalu melakukan penyusunan ulang lain setelahnya. Gabungan dua permutasi disebut komposisi permutasi. Komposisi berarti melakukan fungsi satu demi satu.

Hal pentingnya adalah: jika kita menggabungkan dua permutasi pada himpunan yang sama, hasilnya masih permutasi pada himpunan itu. Selain itu, ada permutasi yang tidak mengubah apa pun, yaitu permutasi identitas:

\[ 1 \mapsto 1,\qquad 2 \mapsto 2,\qquad 3 \mapsto 3. \]

Setiap permutasi juga dapat dibalik. Jika suatu permutasi mengubah urutan, maka ada permutasi lain yang mengembalikan urutan itu ke keadaan semula. Inilah sebabnya kumpulan semua permutasi dari suatu himpunan membentuk grup terhadap operasi komposisi. Fakta ini merupakan salah satu contoh dasar yang hampir selalu muncul dalam pembahasan awal teori grup (Gallian, 2017).

Belajar Definisi Tanpa Takut Simbol

Teori grup memakai simbol. Namun, simbol bukan penghalang. Simbol hanyalah cara singkat untuk menulis gagasan.

Misalnya, ketika kita menulis

\[ a*b, \]

kita belum tentu sedang membicarakan perkalian biasa. Simbol \(*\) dapat berarti operasi apa pun yang sedang didefinisikan. Bisa saja \(*\) berarti penjumlahan, komposisi fungsi, perkalian modulo, atau operasi buatan pada tabel.

Karena itu, dalam buku ini kita akan membiasakan diri membedakan antara:

• objek, misalnya bilangan, permutasi, atau koset;
• himpunan, yaitu kumpulan objek;
• operasi, yaitu aturan untuk menggabungkan dua objek;
• sifat operasi, misalnya asosiatif, memiliki identitas, atau memiliki invers;
• struktur, yaitu himpunan beserta operasi dan sifat-sifatnya.

Contoh sederhana:

\[ (\mathbb{Z},+) \]

berarti “himpunan bilangan bulat dengan operasi penjumlahan”. Tanda kurung di sini membantu kita mengingat bahwa grup bukan hanya \(\mathbb{Z}\), melainkan \(\mathbb{Z}\) bersama operasi \(+\).

Jika operasinya diganti, strukturnya bisa berubah. Misalnya, \(\mathbb{Z}\) terhadap penjumlahan berperilaku sangat baik sebagai grup. Tetapi \(\mathbb{Z}\) terhadap perkalian bukan grup, karena tidak setiap bilangan bulat memiliki invers perkalian di dalam \(\mathbb{Z}\). Sebagai contoh, tidak ada bilangan bulat \(x\) yang memenuhi

\[ 2x=1. \]

Jadi, saat belajar teori grup, kita harus selalu bertanya: “Himpunannya apa, dan operasinya apa?”

Peran Bukti dalam Buku Ini

Matematika tidak hanya berisi perhitungan. Matematika juga berisi bukti.

Bukti adalah penjelasan logis yang menunjukkan mengapa suatu pernyataan benar. Misalnya, pernyataan “jumlah dua bilangan genap selalu genap” dapat dibuktikan sebagai berikut.

Jika \(a\) dan \(b\) bilangan genap, maka ada bilangan bulat \(m\) dan \(n\) sehingga

\[ a=2m,\qquad b=2n. \]

Maka

\[ a+b=2m+2n=2(m+n). \]

Karena \(m+n\) adalah bilangan bulat, maka \(a+b\) adalah dua kali suatu bilangan bulat. Jadi, \(a+b\) genap.

Bukti seperti ini akan sering kita gunakan. Awalnya mungkin terasa lebih lambat daripada sekadar menghitung contoh. Namun, bukti memberi kepastian umum. Dengan bukti, kita tidak hanya tahu bahwa

\[ 4+6=10 \]

dan hasilnya genap. Kita tahu bahwa jumlah dua bilangan genap mana pun pasti genap.

Di dalam teori grup, bukti membantu kita menjawab pertanyaan seperti:

• Mengapa elemen identitas dalam grup hanya satu?
• Mengapa invers suatu elemen hanya satu?
• Mengapa suatu subset benar-benar subgrup?
• Mengapa kernel homomorfisma selalu subgrup normal?
• Mengapa dua grup bisa dianggap “sama strukturnya” meskipun anggotanya berbeda?

Pertanyaan-pertanyaan ini akan dibangun bertahap, sehingga pembaca tidak perlu menghafal tanpa memahami.

Peta Perjalanan Buku

Bagian awal buku membangun bahasa dasar. Kita mulai dengan himpunan, fungsi, dan operasi biner. Ini penting karena teori grup tidak dapat dipahami dengan baik tanpa ketiga ide tersebut.

Setelah itu, kita mendefinisikan grup dan mempelajari contoh-contoh penting. Contoh akan datang dari bilangan bulat, bilangan rasional tak nol, aritmetika modulo, dan tabel operasi kecil. Kita juga akan belajar aturan hitung dasar dalam grup, seperti hukum pembatalan dan cara mencari invers dari hasil kali.

Selanjutnya, kita masuk ke permutasi. Di sini kita akan memahami penyusunan ulang sebagai fungsi bijektif. Kita akan belajar notasi dua baris, notasi siklus, siklus lepas, transposisi, paritas, dan grup alternating. Bagian ini penting karena permutasi adalah salah satu model paling konkret untuk memahami grup.

Sesudah itu, kita mempelajari subgrup. Kita akan melihat bagaimana sebuah grup dapat memiliki grup yang lebih kecil di dalamnya. Dari subgrup, kita menuju koset dan Teorema Lagrange. Teorema ini memberi hubungan mendasar antara ukuran grup dan ukuran subgrup pada grup hingga.

Kemudian kita membahas subgrup normal dan grup hasil bagi. Bagian ini mungkin terasa lebih abstrak, tetapi ide dasarnya sederhana: kadang-kadang kita ingin “mengelompokkan” elemen-elemen grup agar struktur yang rumit menjadi lebih sederhana.

Akhirnya, kita mempelajari homomorfisma, kernel, citra, isomorfisma, dan Teorema Isomorfisma Pertama. Di sini banyak jalur sebelumnya bertemu. Homomorfisma menjelaskan bagaimana satu grup memetakan strukturnya ke grup lain. Kernel menunjukkan bagian yang “hilang” menjadi identitas. Citra menunjukkan bagian yang benar-benar tercapai. Isomorfisma menunjukkan kapan dua grup memiliki struktur yang sama.

Cara Berpikir yang Akan Dilatih

Buku ini tidak menuntut Anda cepat. Yang lebih penting adalah tepat.

Ada beberapa kebiasaan berpikir yang akan kita latih.

Pertama, selalu perhatikan definisi. Dalam teori grup, definisi adalah alat utama. Jika diminta membuktikan bahwa suatu himpunan adalah subgrup, kita kembali ke definisi subgrup. Jika diminta membuktikan bahwa suatu fungsi adalah homomorfisma, kita kembali ke definisi homomorfisma.

Kedua, bedakan contoh dan bukti. Contoh membantu memahami ide, tetapi contoh saja belum membuktikan pernyataan umum. Jika kita mencoba lima pasang bilangan genap dan jumlahnya selalu genap, itu memberi petunjuk. Namun, bukti diperlukan untuk menyimpulkan bahwa semua pasangan bilangan genap memiliki jumlah genap.

Ketiga, tulis operasi dengan jelas. Banyak kesalahan dalam teori grup muncul karena pembaca lupa operasi apa yang sedang digunakan. Simbol yang sama dapat memiliki arti berbeda dalam konteks berbeda. Operasi pada bilangan, operasi pada permutasi, dan operasi pada koset harus dibaca sesuai definisinya masing-masing.

Keempat, jangan takut pada abstraksi. Abstraksi justru membantu kita melihat kesamaan. Setelah memahami bahwa bilangan bulat dengan penjumlahan, rotasi bangun datar, dan permutasi semuanya dapat dibahas dengan bahasa grup, kita memperoleh alat berpikir yang lebih kuat.

Penutup Pendahuluan

Teori grup dimulai dari ide sederhana: kita punya objek dan aturan untuk menggabungkannya. Dari ide sederhana ini muncul dunia yang luas: simetri, permutasi, subgrup, koset, homomorfisma, kernel, citra, dan isomorfisma.

Buku ini akan berjalan pelan-pelan. Setiap istilah penting akan dijelaskan dari dasar, diberi contoh, lalu dipakai dalam pembahasan berikutnya. Jika suatu bagian terasa baru, itu wajar. Matematika tingkat lanjut sering terasa asing bukan karena idenya mustahil, tetapi karena bahasanya belum akrab.

Tujuan buku ini adalah membuat bahasa itu menjadi akrab.

Kita mulai dari fondasi paling dasar: himpunan, fungsi, dan notasi.

References

Dummit, David S., dan Richard M. Foote. 2004. Abstract Algebra. Edisi ke-3. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.

Gallian, Joseph A. 2017. Contemporary Abstract Algebra. Edisi ke-9. Boston, MA: Cengage Learning.